[군론]Section0 - SETS AND RELATIONS(1)

목차

 

정의, 그리고 집합의 개념에 대하여

 

정의는 수학자 사이의 소통에 있어 매우 중요하다.

 

그러나 여기에는 구조적 약점이 존재하는데, 바로 모든 것을 정의하는 것은 불가능하다는 것이다.

 

모든 것을 정의하는 것은 불가능하다

 

예를 들어 집합에 대해 다음과 같은 정의를 사용한다고 가정해 보자.

 

• 집합(set)은 잘 정의된 객체의 모임(collection)이다.

그럼, 모임(collection)이란 무엇인가? 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

• 모임은 사물들의 집합체(aggregate)이다.

그렇다면, 집합체란 무엇인가?

 

인간의 언어는 유한하기 때문에 어느 시점에서는 단어를 반복해서 사용해야 한다.

 

이렇게 되는 경우 정의는 순환적(circular)이며 쓸모없어지게 된다.

 

수학자들은 시작을 위해 정의되지 않은, 혹은 기본적인(primitive) 개념이 있어야 한다는 것을 깨닫게 되며

 

여기서는 집합(set)을 그런 개념으로 사용하기로 합의하였다.

 

따라서 여기에선 집합을 정의하지 않으며, 다만 "모든 실수의 집합" 또는 "미국 상원의원의 집합"과 같은 표현이 사용될 때

 

사람들이 "소통하기에 충분히 비슷한 의미"로 받아들이기를 바랄 뿐이다.

 

계속해서 집합에 대해 기본적으로 가정하는 몇 가지 사항을 요약하자.

 

1. 집합 S는 원소로 구성되며, a가 그중 하나라면 이를 $a\in S$로 나타낸다.
2. 원소가 없는 집합은 정확히 하나뿐이다. 이를 공집합이라 부르며 $\varnothing$로 나타낸다.
3. "미국 상원의원의 집합"과 같이 원소의 특징을 나타내는 속성을 제공하거나, 원소를 나열함으로써 집합을 설명할 수 있다.
   원소를 나열하는 표준 방법은 {1, 2, 15}와 같이 중괄호 안에 쉼표로 구분한 원소를 넣는 것이며,
   원소 x의 속성 P(x)로 집합을 설명하는 경우 {x | P(x)}와 같이 쓰이며 "P(x)에 대한 진술이 참인 모든 x의 집합"으로 읽는다.
   따라서 {2, 4, 6, 8} = {x | x는 8 이하의 짝수인 양수 전체} = {2x | x = 1, 2, 3, 4}이다.
   {x | P(x)}는 "집합 빌더 표기"라고도 불린다.
4. 집합이 잘 정의되어 있어, S가 집합이고 a가 어떤 객체라면, a는 분명히 S에 속해 있거나$(a \in S)$, 분명히 S에 속해 있지 않다$(a \notin S)$.
   따라서 "몇몇 수의 집합 S를 고려하자"라고 해서는 안 된다. 왜냐하면 $2\in S$, $2\notin S$가 분명하지 않기 때문이다.
   반면 모든 양의 소수의 집합 T는 고려할 수 있다. 모든 양의 정수는 소수이거나 소수가 아니기 때문이다.
   집합에 객체가 속하는지 여부는 실제로 판단하기는 어려울 수 있다. 예를 들어, $2(2^{65})+1$이 T에 속하는지 아닌지는 알 수 없다.
   다만 $2(2^{65})+1$는 분명히 소수이거나 소수가 아닐 것이다.

추가로 모든 것을 집합의 개념으로 되돌려 정의하는 것은 가능하지 않다.

 

예를 들어 $\pi$와 같은 숫자는 집합의 관점에서 절대 정의하지 않을 것이다.

 

모든 정의는 "if and only if" 타입의 문장이다

 

이와 같은 이해를 바탕으로, 종종 "only if"가 생략된 채로 문장이 제시되더라도 정의의 일부로 이해해야 한다.

 

따라서 이등변삼각형을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

• 만약 삼각형의 두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형이다.

위 문장이 실제로 의미하는 바는 "삼각형은 두 변의 길이가 같은 경우에만(if and only if) 이등변삼각형이다."이다.

 

과목이 진행될수록 많은 용어를 정의해야 한다.

 

관심사가 되는 주요 대수학적 개념에 대해 특별히 라벨링 하고 번호를 매긴 정의를 사용할 것이다.

 

이와 같은 라벨과 번호의 압도적인 양을 피하기 위해 이후로 많은 용어를 굵은 글씨로 정의한다.

 

 

굵은 글씨 관습(Convention)

 

문장에서 굵은 글씨로 표기된 용어는 해당 문장에 의해 정의되고 있다.

 

정의는 외우지 않고 이해하는 것이 중요하다. 자신의 말로 정확히 같은 개념을 정의할 수 있어야 한다.

 

따라서

 

• 이등변삼각형은 두 개의 동일한 변을 가진 삼각형이다.

라는 정의는 완전히 올바르다.

 

물론, 여기서는 집합을 정의하지 않기로 했기 때문에 집합에 대한 논의를 위해 앞서 사용한 굵은 글씨는 관습과 별개이다.

 

이 섹션에서는 몇몇 친숙한 개념을 집합으로 정의하는데, 이는 개념의 설명과 복습을 위한 것이다.

 

먼저 몇 가지 정의와 일부 표기법에 대해 살펴보자.

 

0.1 Definition

 

집합 B가 집합 A의 부분집합이라는 것은 B의 모든 원소가 A에 속해 있는 경우로, $B\subseteq A$ 또는 $A\supseteq B$로 표시된다.

 

$B\subset A$ 또는 $A\supset B$는 $B\subseteq A$이지만 $B\neq A$인 경우에 사용된다.■

 

이 정의에 따르면 어떤 집합 A에 대해 A 자체와 $\varnothing$ 모두 A의 부분집합이다.

 

0.2 Definition

 

집합 A가 임의의 집합일 경우, A는 A의 가부분집합(improper subset)이다.

 

A의 다른 모든 부분집합은 A의 진부분집합(proper subset)이다. ■

 

0.3 Example

 

집합 S = {1, 2, 3}는 총 여덟 개의 부분집합을 가지고 있으며, 그것은 ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, 그리고 {1, 2, 3}이다. ▲

 

0.4 Definition

 

집합 A와 B가 있을 때, 집합 $A×B$ = {$(a, b)$ | $a \in A$이고 $b \in B$}는 A와 B의 카테시안 곱(Cartesian product)이다. ■

 

0.5 Example

 

$A = \{1,2,3\}$과 $B = \{3,4\}$일 때, 다음을 얻을 수 있다. $A × B = \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$. ▲

 

이 예에 이어서 숫자로 이루어진 익숙한 집합에 대한 표기법을 정리하자.

 

• $\mathbb{Z}$는 모든 정수(즉, 양수, 음수, 그리고 0을 포함하는 전체 수)의 집합이다.
• $\mathbb{Q}$는 모든 유리수(즉, 0이 아닌 정수 n에 대한 m/n의 형태로 표현될 수 있는 수)의 집합이다.
• $\mathbb{R}$은 모든 실수의 집합이다.
• $\mathbb{Z}^+$, $\mathbb{Q}^+$, $\mathbb{R}^+$는 각각 $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$의 양의 구성원들의 집합이다.
• $\mathbb{C}$는 모든 복소수의 집합이다.
• $\mathbb{Z}\ast$, $\mathbb{Q}\ast$, $\mathbb{R}\ast$, $\mathbb{C}\ast$는 각각 $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$의 0이 아닌 구성원들의 집합이다.

 

0.6 Example

 

집합 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$은 첫 학기 미적분학에서 함수의 그래프를 그리기 위해 사용하는 친숙한 유클리드 평면이다. ▲

 

집합 간의 관계(Relations Between Sets)

 

집합 A의 원소 a가 집합 B의 원소 b와 관련이 있다는 개념을 소개한다. 이는 $a \mathfrak{R} b$로 표기한다.

이는 다음과 같은 관계 $\mathfrak{R}$의 정의를 이끌어 낸다: 관계 $\mathfrak{R}$을 집합으로 정의한다.

 

0.7 Definition

 

집합 $A$와 $B$ 사이의 관계는 $A×B$의 부분집합 $\mathfrak{R}$로서 정의된다.

 

$(a, b) \in \mathfrak{R}$을 "a가 b와 관련되어 있다"라고 읽고, $a \mathfrak{R} b$로 표기한다.

 

0.8 Example

 

(등가 관계) 집합과 그 자신 사이에는 친숙한 관계가 하나 있으며, 이 관계는 앞으로 등장할 모든 집합 S가 가지고 있다:

 

바로 집합 S에 정의된 등가관계(=)이다. 이는 다음과 같이 정의된다.

 

• $=$ 는 $\{ (x, x) | x \in S \}$의 부분집합으로, $S \times S$내에서 정의된다.

따라서 어떤 $x \in S$에 대해서도 $x=x$를 가진다.

 

만약 $x$와 $y$가 $S$의 서로 다른 두 원소라면 $(x,y)\notin \; =$이며, 이를 $x \neq y$라고 표기한다.▲

 

이와 같이 앞으로 집합 S와 그 자신의 모든 관계 역시 S에 대한 관계로 참조할 것이다.

 

등가 관계(Equality Relation)

등가 관계(Equality Relation)는 매우 기본적이면서도 중요한 개념이다.

이는 집합 내의 모든 원소가 자기 자신과 등가(즉, 같음)인 관계를 나타낸다.

구체적으로, 집합 S에 대해 정의된 등가 관계는 다음과 같이 수학적으로 표현된다:

$$=\; \subset S \times S$$
$=$는 집합 S의 모든 원소 $x$에 대해, 원소 $x$와 자기 자신을 순서쌍으로 하는 집합이다.

이는 집합 S의 모든 원소가 자기 자신과 "동일하다"는 관계를 나타내며, 

이러한 관계를 통해 우리는 어떤 원소 $x$에 대해서도 항상 $x = x$라고 말할 수 있다.

만약 $x$와 $y$가 집합 $S$ 내에서 서로 다른 두 원소라면, $x$와 $y$사이에는 등가 관계가 성립하지 않는다.

즉, $(x, y)\notin \; =$이며, 이 경우 $x \neq y$라고 표현한다. 이는 $x$와 $y$가 다르다는 뜻이다.

등가 관계는 집합론에서 매우 기본적인 관계로, 집합 내 원소들의 동일성을 판단하는 기준을 제공한다.

이러한 관계는 자기 자신에 대한 관계, 즉 집합 S와 그 자체 사이의 관계로 간주된다.

이런 관계를 집합 S에 대한 관계라고 부르며,

이는 집합 내에서 원소들이 어떻게 서로 관련되어 있는지를 나타내는 데 사용된다.

등가 관계의 개념은 더 복잡한 수학적 구조와 이론을 이해하는 데 있어서 기초를 제공한다.

예를 들어, 집합 내에서 원소들의 동등성을 바탕으로 분류하거나,

수학적 명제의 참과 거짓을 판단하는 데 등가 관계가 중요하게 사용된다.

 

0.9 Example

 

함수 $f$의 그래프, 예를 들면 $f(x)=x^3$은 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$의 부분집합 $\{ (x, x^3) | x \in \mathbb{R}$이다.

 

함수는 그래프에 의해 완전히 정해진다.▲

 

앞선 예시는 "함수" $y = f(x)$를 $\mathbb{R}$에 있는 각 $x$에 정확히 하나의 $y \in \mathbb{R}$를 할당하는 "규칙"으로 정의하기보다

 

$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$의 특정 유형의 부분집합, 즉 일종의 관계로 쉽게 설명할 수 있음을 제안한다.

 

이와 같이 접근하면 $\mathbb{R}$ 뿐 아니라 임의의 집합 $X$와 $Y$도 다룰 수 있다.

 

0.10 Definition

 

 

집합 $X$에서 $Y$로의 함수 $\phi$는 $X$와 $Y$사이의 관계로서,

 

각각의 $x \in X$가 $\phi$내에서 정확히 하나의 순서쌍 $(x, y)$의 첫 번째 구성원으로 나타나는 속성을 가진다.

 

이러한 함수를 $X$에서 $Y$로의 맵(map) 또는 매핑(mapping)이라고 부르기도 한다.

 

위와 같은 매핑은 $ \phi : X \rightarrow Y$ 로 쓰고, $(x, y) \in \phi$ 를 $\phi (x) = y$로 표현한다.

 

$\phi$의 정의역(domain)은 집합 $X$이고, 공역(codomain)은 집합 $Y$이다.

 

$\phi$의 치역(range)은 $\phi [X] = \{ \phi (x) | x \in X \}$이다.■

 

0.11 Example

 

실수의 덧셈을 다음과 같은 함수로 볼 수 있다.

 

$$+ : (\mathbb{R} \times \mathbb{R})$$

 

즉, $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$을 $\mathbb{R}$로 매핑하는 것으로 볼 수 있다.

 

예를 들어 $(2,3) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$에 대한 $+$의 작용은 함수 표기법으로 $+((2,3)) = 5$로 주어진다.

 

집합 표기법에서는 $((2,3),5) \in +$로 쓴다.

 

물론 가장 친숙한 표현은 $2 + 3 = 5$이다.▲