감마 함수 (Gamma Function)

목차

• 들어가며
• 정의
  • 왜 이런 모양인가?
    • $n = 1$일 때
    • $n = 2$일 때
    • 일반화
• 주요 성질
  • 재귀 관계 (Recurrence relation)
  • $\Gamma\left(1/2\right)$의 값
  • $\Gamma(n)$은 $(n-1)!$
• 그래프
• 감마 함수 & 베타 함수
• 요약

 

들어가며

 

감마 함수는 정수 팩토리얼($n!$) 개념을 실수(혹은 복소수) 영역으로 일반화한 함수이다. 

 

확률 분포 이론에서 자주 등장하며, 특히 베타 분포(Beta distribution), 감마 분포(Gamma distribution), 

 

디리클레 분포(Dirichlet distribution) 등에서 중심적인 역할을 한다.

 

좀 더 구체적으로는 머신러닝을 비롯한 확률론 기반 모델에서는 감마함수를 양의 실수영역까지만 확장해서 사용한다.

 

당연하다면 당연하게도 음수나 복소수의 경우엔 확률 분포가 성립하지 않거나 정규화 상수가 무의미해지기 때문이다.

 

정의

 

양의 실수 $z > 0$에 대해 감마 함수는 다음과 같이 정의된다:

 

$$\Gamma(z)=\int^\infty_0t^{z-1}e^{-t}dt$$

 

이는 무한 적분으로 정의되며, $z$가 양의 정수일 때 다음 성질을 만족한다:

 

$$Γ(n)=(n−1)!\quad(\text{for } n∈\mathbb{N})$$

 

즉,

• $\Gamma(1) = 0! = 1$
• $\Gamma(2) = 1! = 1$
• $\Gamma(3) = 2! = 2$
• $\Gamma(4.5)$ 같은 경우는 일반적인 팩토리얼로는 정의할 수 없지만 감마 함수를 통해 계산할 수 있다.

왜 이런 모양인가?

 

이 정의는 다음 조건을 만족해야 한다는 수학적 요구에서 출발했다:

 

1. $\Gamma(1) = 1$
2. $\Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z)$ (팩토리얼 재귀 성질)
3. 적분으로 표현 가능하고, 실수 전체에 대해 정의됨

사실 위 조건은 오일러가 팩토리얼을 확장하는 과정에서 찾았던 조건

 

1. $f(1) = 1$
2. $f(z+1) = z \cdot f(z)$
3. $f(z)$가 실수 전체에 대해 정의되며, 연속적이고 부드러운 함수여야 함

에서 왔으며, 이 세 조건을 만족하는 함수가 적분 형태로 정의되는 감마 함수 $\Gamma(z)$밖에 없다는 것이 증명되었다.

 

증명은.. 여백이 모자라서 생략한다.

 

그래도 감마 함수가 팩토리얼을 일반화하는 과정은 간단하기 때문에 잠깐 살펴보고 지나가자.

 

정수 $n$에 대해 다음을 보자:

 

$$\Gamma(n)=\int^\infty_0t^{n-1}e^{-t}dt$$

 

$n = 1$일 때

 

$$\Gamma(1)=\int^\infty_0t^{0}e^{-t}dt=\int^\infty_0e^{-t}dt=1$$

 

즉, $\Gamma(1) = 0!$

 

$n = 2$일 때

 

$$\Gamma(2)=\int^\infty_0t^{1}e^{-t}dt$$

 

부분적분하면:

• $u = t$, $dv = e^{-t} dt$
• $du = dt$, $v = -e^{-t}$

$$\Gamma(2)=[-te^{-t}]^\infty_0+\int^\infty_0e^{-t}dt=0+1=1=1!$$

 

일반화

 

부분적분을 일반화하면 다음과 같은 결과를 얻는다:

 

$$\Gamma(n+1)=\int^\infty_0t^{n}e^{-t}dt=n\cdot\Gamma(n)$$

 

따라서

 

$$Γ(n)=(n−1)!$$

 

즉, 감마 함수는 다음 조건을 만족한다:

 

• $\Gamma(n) = (n-1)!$ for natural numbers $n$
• $\Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z)$ for all $z$
• $\Gamma(1) = 1$

주요 성질

 

재귀 관계 (Recurrence relation)

 

감마 함수는 다음의 재귀적 성질을 갖는다:

 

$$Γ(z+1)=z⋅Γ(z)$$

 

이는 팩토리얼의 정의 $n! = n \cdot (n-1)!$와 동일한 구조이다.

 

이를 이용해 비정수에 대한 계산도 재귀적으로 진행 가능하다.

 

$\Gamma\left(1/2\right)$의 값

 

감마 함수는 정수 외의 값에서도 정의되며, 특히 다음 결과는 자주 쓰인다:

 

$$Γ(\frac{1}{2})= \sqrt{π}$$

 

이 결과는 정규분포의 정규화 상수를 유도할 때 결정적인 역할을 한다. 

 

따라서 $\pi$가 확률분포에 등장하는 이유는 사실상 감마 함수 때문이다.

 

$\Gamma(n)$은 $(n-1)!$

 

이 결과를 직관적으로 이해하면 다음과 같다:

$$Γ(n)=(n-1)! \quad n \in \mathbb{N}$$

 

베타 분포에서 자주 등장하는 분모

 

$$\frac{\Gamma[\alpha + \beta]}{\Gamma[\alpha] \Gamma[\beta]}$$

 

는 일반적인 이항 계수(binomial coefficient)와 유사한 구조를 가지며, 베이즈 추론에서 정규화 상수로 활용된다.

 

그래프

감마 함수의 그래프는 다음과 같은 특징을 가진다:

 

• $z = 1, 2, 3, \dots$에서는 점점 커지며 발산
• $z \in (0,1)$에서는 $\Gamma(z) > 1$
• $z = 0, -1, -2, \dots$에서는 정의되지 않으며 극점(pole)이 존재

따라서 감마 함수는 음의 정수에서는 정의되지 않음에 주의해야 한다.

 

감마 함수 & 베타 함수

 

베타 함수(Beta function)는 감마 함수와 밀접한 관련이 있으며 다음과 같은 식으로 연결된다:

 

$$B(α,β) = \int^1_0t^{α-1}(1-t)^{β-1}dt = \frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$$

 

즉, 베타 분포의 분모에 등장하는 $\Gamma$ 항들은 베타 함수의 정규화 상수를 구성하는 요소이다.

 

요약

• 감마 함수는 $n!$을 실수 영역으로 확장한 함수이다.
• $\Gamma(n) = (n-1)!$이며, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$이다.
• 베타/감마/디리클레 분포 등에서 자주 사용된다.
• 정규화 상수로 자주 등장하며, 분포의 모양을 수학적으로 정리하는 데 필수적이다.
• 실수 및 복소수에서도 정의되며 재귀성과 정적분으로 계산 가능하다.