[선형대수학]벡터 공간과 일차 독립

목차

 

[선형대수학]머신러닝과 딥 러닝의 핵심, 선형대수학의 역할과 중요성

[선형대수학]부분행렬과 분할행렬: 공통점과 차이점, ML/DL에의 응용

[선형대수학]역행렬과 행렬식의 성질, ML/DL과의 관계

[선형대수학]행렬의 해와 감소된 행 계단형(Reduced Row Echelon Form, RREF)

[선형대수학]벡터 공간(Vector Spaces)

[선형대수학]벡터 공간과 일차 독립

[선형대수학]벡터 공간과 기저, 차원 그리고 ML/DL

[선형대수학]차원의 저주: 데이터 분석의 걸림돌

[선형대수학]행렬의 랭크와 그 응용

[선형대수학]벡터의 내적과 그 응용

[선형대수학]정규직교 기저와 그람-슈미트 프로세스

[선형대수학]최소 제곱해

[선형대수학]선형변환과 고윳값의 이해: 머신러닝/딥러닝에서의 응용

[선형대수학]벡터 공간의 대각화와 그 응용 - 유사 행렬 및 머신러닝에서의 중요성

[선형대수학]특이값 분해(SVD): 기본부터 머신러닝/딥러닝까지의 응용

[선형대수학]특이값 분해와 고윳값: 공통점과 차이점

[선형대수학]실 이차 형식과 양의 정부호 행렬: 머신러닝/딥러닝에의 응용

[선형대수학]주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)

[선형대수학]Factorization Machines

 

Introduction

 

지난 글에서는 벡터와 벡터 공간, 그리고 부분공간의 개념에 대해 알아봤다.

 

이번 글에서는 부분공간 중 하나인 Span의 정의와 일차 독립의 개념에 대해 알아본다.

 

Span

 

Span은 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나로, 주어진 벡터들의 선형 조합으로 생성되는 벡터 공간을 가리킨다.

 

예를 들어, 벡터 v1, v2, ..., vp가 주어졌을 때, 이들의 Span은 모든 가능한 선형 조합을 포함하는 공간이 된다.

 

이때 a1과 a2 등은 어떤 실수든 될 수 있기 때문에, 이미지의 Span은 p차원 벡터 공간을 나타낸다.

 

기존 벡터 공간 V 역시 p차원인 경우 Span은 부분 공간인 동시에 전체 공간과 동일하며,

 

V의 차원이 p보다 큰 경우 Span은 V의 부분공간이며, 기존 벡터 공간을 더 작은 부분으로 나누는 데 사용된다.

 

 

Linear Independence

 

일차 독립은 벡터들이 '서로에게 영향을 받지 않는다'는 개념을 수학적으로 표현한 것이다. 

 

벡터들이 일차 독립이라 함은, 한 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 없다는 뜻이다. 

 

이는 시스템 내에서 벡터들이 얼마나 '독창적인' 정보를 가지고 있는지를 나타낸다.

 

이어서 다음 이미지와 같은 성질을 만족한다.

 

 

ML/DL

 

머신러닝과 딥 러닝에서 벡터 공간, Span, 부분공간 및 일차 독립은 중요하다.

 

이러한 개념은 데이터의 표현과 특징 추출, 모델 학습, 차원 축소, 특징 선택 등 다양한 측면에서 중요한 역할을 하기 때문이다.

 

Span

 

Span은 데이터의 특징을 표현하기 위한 벡터 공간을 정의하는 데 사용된다.

예를 들어, 머신러닝에서 주성분 분석(PCA)과 같은 차원 축소 기법에서는 

 

주어진 데이터의 Span을 찾아 고차원 데이터를 저차원으로 투영하는 데 활용된다.

 

Subspaces

 

데이터는 종종 고차원 공간에서 수집된다.

 

이러한 데이터를 효과적으로 다루려면 부분공간 개념이 중요하다.

머신러닝에서는 특징 선택, 차원 축소 및 데이터 시각화를 위해 부분공간을 조사한다.

예를 들어, 이미지 처리에서는 얼굴 인식과 같은 작업에서 얼굴 부분공간을 모델링하여 중요한 정보를 추출한다.

 

Linear Independence

 

벡터들이 일차 독립이면, 그들은 서로 관련성이 낮고 중복 정보가 적다.

이것은 효과적인 데이터 표현과 모델 학습을 위해 중요한 성질이다.

머신러닝에서는 특징 추출 및 데이터 재구성에 일차 독립성을 고려한다.

 

Conclusion

 

일차 독립과 부분공간은 선형대수학의 이론을 실제 문제에 적용하는 기반을 제공한다. 

 

이 개념들을 통해 데이터 분석, 컴퓨터 그래픽스, 공학 문제 해결 등 

 

다양한 분야에서의 문제 해결에 필수적인 도구를 갖추게 된다. 

 

선형대수는 단순히 수학적 추상의 영역을 넘어, 실생활 속 다양한 문제를 이해하고 해결하는 데 있어서 그 중심에 있다.