[선형대수학]특이값 분해와 고윳값: 공통점과 차이점

목차

 

[선형대수학]머신러닝과 딥 러닝의 핵심, 선형대수학의 역할과 중요성

[선형대수학]부분행렬과 분할행렬: 공통점과 차이점, ML/DL에의 응용

[선형대수학]역행렬과 행렬식의 성질, ML/DL과의 관계

[선형대수학]행렬의 해와 감소된 행 계단형(Reduced Row Echelon Form, RREF)

[선형대수학]벡터 공간(Vector Spaces)

[선형대수학]벡터 공간과 일차 독립

[선형대수학]벡터 공간과 기저, 차원 그리고 ML/DL

[선형대수학]차원의 저주: 데이터 분석의 걸림돌

[선형대수학]행렬의 랭크와 그 응용

[선형대수학]벡터의 내적과 그 응용

[선형대수학]정규직교 기저와 그람-슈미트 프로세스

[선형대수학]최소 제곱해

[선형대수학]선형변환과 고윳값의 이해: 머신러닝/딥러닝에서의 응용

[선형대수학]벡터 공간의 대각화와 그 응용 - 유사 행렬 및 머신러닝에서의 중요성

[선형대수학]특이값 분해(SVD): 기본부터 머신러닝/딥러닝까지의 응용

[선형대수학]특이값 분해와 고윳값: 공통점과 차이점

[선형대수학]실 이차 형식과 양의 정부호 행렬: 머신러닝/딥러닝에의 응용

[선형대수학]주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)

[선형대수학]Factorization Machines

 

Introduction

 

특이값 분해와 고윳값은 선형대수학에서 중요한 두 개념이다. 

 

두 방법 모두 행렬의 특성을 분석하는 데 사용되지만, 각기 다른 방식과 목적으로 적용된다. 

 

이 게시글에서는 특이값과 고윳값의 공통점과 차이점을 간단히 살펴보자.

 

Commonalities

 

특이값 분해와 고윳값 분해는 모두 행렬을 더 단순하고 이해하기 쉬운 형태로 분해하는 방법이다. 

 

이 두 방법은 행렬의 기본적인 특성을 드러내고, 데이터의 구조적인 측면을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 

 

또한, 두 방법 모두 데이터의 중요한 요소를 추출하고, 데이터를 효과적으로 압축하는 데 사용된다.

 

Differences

 

고윳값 분해는 주로 정방행렬(square matrices)에 적용되는 반면, 특이값 분해는 모든 형태의 행렬에 적용될 수 있다.

 

고윳값 분해는 행렬 $A$에 대해 $Av = λv$ 형태의 방정식을 만족하는 $v$(고유벡터)와 $λ$(고윳값)을 찾는 과정이다.

 

여기서 $λ$는 $A$에 의해 $v$가 확장되는 정도를 나타낸다.

 

반면, 특이값 분해는 행렬 $A$를 $UΣV^T$ 형태로 분해하며, 여기서 $Σ$의 대각 성분이 특이값이다.

특이값 분해는 원본 행렬이 정방행렬이 아니어도 적용할 수 있다. 

 

이는 고윳값 분해가 적용되지 않는 비정방행렬에 대해서도 유용한 정보를 제공한다는 것을 의미한다. 

 

또한, 특이값은 항상 실수이며, 고윳값은 복소수일 수도 있다. 

 

이러한 차이점은 특이값 분해가 보다 광범위한 문제에 적용될 수 있도록 한다.

 

조금 더 들어가서 수학적/물리학적으로 둘의 차이를 보면 다음과 같다:

 

1. 특이값(Singular Values)
   
   
   1. 수학적 의미
      특이값은 행렬의 '크기'나 '에너지'를 나타내는 지표로 볼 수 있다.
      행렬 A가 어떤 벡터에 작용할 때, 그 벡터의 길이가 얼마나 변하는지를 나타낸다.
      큰 특이값은 원래 행렬이 해당 방향으로 많은 '힘'이나 '변화'를 가하고 있다는 것을 의미하며,
      작은 특이값은 해당 방향의 변화가 적거나 중요하지 않다는 것을 나타낸다.
   2. 물리학적 의미
      특이값은 주로 데이터의 중요도나 변형의 강도를 나타낸다.
      예를 들어, 물리학에서의 실험 데이터나 관측 데이터를 분석할 때,
      특이값 분해를 통해 데이터의 중요한 성분을 추출하고 잡음을 제거하는 데 사용된다.
      또한 특이값은 시스템이 어떤 입력에 대해 어떻게 반응하거나 변형되는지를 나타내는 데 유용하다.
      예를 들어, 구조물이 받는 힘과 그에 따른 변형 사이의 관계 분석에 사용될 수 있다.
2. 고윳값(Eigenvalues)
   
   
   1. 수학적 의미
      고윳값은 행렬이 벡터에 작용할 때, 그 벡터의 방향은 유지하면서 길이만 변화시키는 정도를 나타낸다.
      고윳값이 크면 해당 방향의 벡터는 행렬에 의해 많이 늘어나거나 줄어들며, 고윳값이 작으면 변화가 적다.
      고윳값은 행렬이 벡터에 어떤 영향을 미치는지를 나타내는 데 중요한 역할을 한다.
   2. 물리학적 의미
      고윳값은 시스템의 고유한 특성이나 상태를 나타낸다.
      예를 들어, 양자역학에서는 고윳값이 관측 가능한 물리량(예: 에너지, 각운동량)의 가능한 측정값을 나타낸다.
      또한, 고체 물리학에서 진동 문제나 고유 주파수 분석에 고윳값이 사용된다. 
      여기서 고윳값은 시스템이 가질 수 있는 고유 진동수를 나타낸다.
      고윳값은 시스템의 안정성이나 공명 상태를 평가하는 데도 사용된다.

 

Conclusion

 

특이값 분해와 고윳값 분해는 각각 고유한 장점과 적용 분야를 가지고 있다.

 

고윳값 분해가 주로 정방행렬에 적용되는 반면,

 

특이값 분해는 모든 형태의 행렬에 적용될 수 있어 더 넓은 범위의 문제를 다룰 수 있다.

 

두 방법은 데이터 분석과 처리에 매우 중요하며,

 

각각의 특성을 이해하는 것은 데이터 과학과 머신러닝 분야에서 중요한 기술이라고 할 수 있다.