[선형대수학]정규직교 기저와 그람-슈미트 프로세스

목차

 

[선형대수학]머신러닝과 딥 러닝의 핵심, 선형대수학의 역할과 중요성

[선형대수학]부분행렬과 분할행렬: 공통점과 차이점, ML/DL에의 응용

[선형대수학]역행렬과 행렬식의 성질, ML/DL과의 관계

[선형대수학]행렬의 해와 감소된 행 계단형(Reduced Row Echelon Form, RREF)

[선형대수학]벡터 공간(Vector Spaces)

[선형대수학]벡터 공간과 일차 독립

[선형대수학]벡터 공간과 기저, 차원 그리고 ML/DL

[선형대수학]차원의 저주: 데이터 분석의 걸림돌

[선형대수학]행렬의 랭크와 그 응용

[선형대수학]벡터의 내적과 그 응용

[선형대수학]정규직교 기저와 그람-슈미트 프로세스

[선형대수학]최소 제곱해

[선형대수학]선형변환과 고윳값의 이해: 머신러닝/딥러닝에서의 응용

[선형대수학]벡터 공간의 대각화와 그 응용 - 유사 행렬 및 머신러닝에서의 중요성

[선형대수학]특이값 분해(SVD): 기본부터 머신러닝/딥러닝까지의 응용

[선형대수학]특이값 분해와 고윳값: 공통점과 차이점

[선형대수학]실 이차 형식과 양의 정부호 행렬: 머신러닝/딥러닝에의 응용

[선형대수학]주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)

[선형대수학]Factorization Machines

 

Introduction

 

벡터 공간은 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야의 핵심적인 구조이다.

 

기저는 벡터 공간 내 모든 벡터를 표현할 수 있는 독립적인 벡터들의 집합으로, 공간의 차원과 구조를 이해하는 데 필수적이다.

 

특히, 정규직교 기저는 각 벡터가 서로 직교하며 길이가 1인 기저로,

 

계산의 복잡성을 줄이고 효율성을 높이는 데 큰 역할을 한다.

 

Orthonormal Basis

 

정규직교 기저를 구성하는 과정은 그람-슈미트 프로세스를 통해 이루어진다.

이 과정은 주어진 벡터들을 직교화하고, 이를 정규화하여 기저를 형성한다.

각 단계에서 주어진 벡터에서 이전 벡터들과의 직교 성분만을 남기는 방식으로 진행되며,

이를 통해 독립적인 벡터들로 공간을 완벽하게 표현할 수 있다.

 

Gram-Schmidt Process

 

그람-슈미트 프로세스는 일련의 벡터들을 정규직교 기저로 변환하는 방법이다.

 

이 과정은 각 벡터를 정규화하고, 서로 직교하도록 만들어 고차원 벡터 공간에서도 계산을 단순화한다.

 

n차원에서 이 프로세스를 수행하기 위해서는 다음 단계를 따른다:

 

• 선택과 정규화
  벡터 집합에서 첫 번째 벡터 $u_1$을 선택하고 이를 정규화하여 첫 번째 기저 벡터 $v_1$ 을 얻는다. 즉, $v_1 = \frac{u_1}{\left\|u_1\right\|}$.
• 직교화:
  다음 벡터 $u_2$에 대해, $u_2$와 이미 정규화된 기저 벡터 $v_1$과의 내적을 계산한다.
  $u_2$에서 이 내적에 해당하는 부분을 빼서 $u_2$와 $v_1$이 직교하도록 만든다:
  $v_2^{'} - u_2 - proj_{v_1}u_2$ , 여기서 $proj_{v_1}u_2$는 $u_2$를 $v_1$ 에 투영한 벡터이다.
• 정규화: 위에서 얻은 $v_2^{'}$를 정규화하여 두 번째 기저 벡터 $v_2$ 를 얻는다: $v_2 = \frac{v_2^{'}}{\left\|v_2^{'}\right\|}$
• 반복: 모든 벡터에 대해 이 과정을 반복한다. 각 $u_i$에 대해, 이전에 계산된 모든 $v_j$들과 직교하도록 만들고, 이후 정규화하여 $v_i$를 얻는다.
• 최종 결과: 이 과정을 모든 벡터에 대해 반복하면, 결과적으로 정규직교 기저 $T = {v_1, v_2, ..., v_n}$을 얻을 수 있다.

 

 

ML/DL

 

정규직교 기저는 데이터 분석과 기계학습에서 중요한 역할을 한다.

고차원 데이터를 처리할 때, 정규직교 기저를 이용하면 각 데이터 포인트들 사이의 관계를 더 명확히 할 수 있으며,

연산의 복잡성을 줄이고, 알고리즘의 성능을 향상시킨다.

특히, 분류, 군집화, 차원 축소 등의 기계학습 알고리즘에 있어서 기저의 선택은 결과의 정확도에 직접적인 영향을 미친다.

 

Conclusion

 

정규직교 기저는 벡터 공간을 이해하고, 다양한 문제를 효율적으로 해결하는 데 있어 중추적인 개념이다. 

 

그람-슈미트 프로세스를 통해 이러한 기저를 구성하는 방법을 이해하는 것은 

 

수학적 깊이와 함께 실용적인 문제 해결 능력을 향상시키는 첫걸음이 될 것이다.