[선형대수학]최소 제곱해

목차

• Introduction
• Least Squares Solution
• How to Calculate
• ML/DL
• Conclusion

 

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Introduction

 

최소 제곱해는 데이터 과학, 통계학, 그리고 머신러닝에서 필수적인 개념이다.

 

이 방법은 관측된 데이터와 모델 사이의 차이를 최소화하는 해를 찾는 데 사용된다.

 

이 게시글에서는 최소 제곱해의 정의와 계산 방법,

 

그리고 최고 제곱해가 선형대수학 및 머신러닝, 딥러닝에서 어떻게 적용되는지를 가볍게 알아보겠다.

 

Least Squares Solution

 

최소 제곱해는 주어진 시스템이 완전히 해결될 수 없을 때, 

 

즉 시스템이 과잉 결정되어 해가 너무 많거나 모순을 포함할 때 사용된다.

 

이는 Ax = b 형태의 선형 시스템에서, 실제 해가 존재하지 않거나 여러 개일 때,

 

관측된 b와 계산된 Ax 사이의 차이를 최소화하는 x값을 찾는 과정이라 할 수 있다.

 

How to Calculate

 

최소 제곱해를 계산하는 표준 방식은 먼저 $A^T*A$를 계산한 후, 이를 $A^T*b$에 적용하여 x를 구하는 것이다. 

 

여기서 $A^T$는 A의 전치 행렬을 의미한다. 

 

이 방식은 '정규 방정식(Normal Equations)'으로 알려져 있으며, 

 

연립방정식을 풀 때 불필요한 해를 제거하고 가장 적합한 해를 찾는 데 유용하다.

 

 

ML/DL

 

머신러닝에서 최소 제곱해는 선형 회귀(Linear Regression) 모델을 훈련하는 데 사용된다. 

 

이 모델은 입력 데이터에 대한 예측값과 실제 값 사이의 차이, 즉 손실을 최소화하도록 설계되었다. 

 

딥러닝에서는 네트워크 가중치를 조정함으로써 손실 함수를 최소화하는 데 최소 제곱해 개념이 응용된다.

 

Conclusion

 

최소 제곱해는 복잡한 데이터에 내재된 패턴과 구조를 해석하고 예측 모델을 구축하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 

 

이해하기 쉽고 계산하기 간단한 최소 제곱해는 선형대수학의 강력한 도구이며, 

 

머신러닝과 딥러닝에서도 핵심적인 기법 중 하나이다.

이를 통해 우리는 예측의 정확성을 높이고, 모델의 성능을 개선할 수 있다.

따라서 최소 제곱해는 수학적 이론뿐만 아니라 실제 응용 분야에서도 그 가치가 높게 평가받고 있다.